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　　通过哈希表，数据元素的存放位置和数据元素的关键字之间建立起某种对应关系，建立这种对应关系的函数称为哈希函数。

　　哈希表的构造方法是：假设要存储的数据元素个数为n，设置一个长度为m（m≥n）的连续存储单元，分别以每个数据元素的关键字Ki(0= i =n-1)为自变量，通过哈希函数hash(Ki)把Ki映射为内存单元的某个地址hash(ki)，并将该数据元素存储在该内存单元中。

　　从数学的角度来看，哈希函数实际上是关键字到内存单元的映射，因此我们希望用哈希函数通过尽量简单的运算，使得通过哈希函数计算出的哈希地址尽量均匀地被映射到一系列的内存单元中。

　　优点是不会产生冲突，但缺点是空间复杂度可能会很高，适用于元素较少的情况下；

　　它是用数据元素关键字除以某个常数所得的余数作为哈希地址，该方法计算简单，适用范围广，是最经常使用的一种哈希函数，可以表示为：

　　该方法的关键是常数的选取，一般要求是接近或等于哈希表本身的长度，理论研究表明，

　　该方法是取数据元素关键字中某些取值较均匀的数字位来作为哈希地址的方法，这样可以尽量避免冲突，但是该方法只适合于所有关键字已知的情况。对于想要设计出更加通用的哈希表并不适用。

　　在构造哈希表时，存在这样的问题，对于两个不同的关键字，通过我们的哈希函数计算哈希地址时却得到了相同的哈希地址，我们将这种现象称为哈希冲突（如图）:

　　第一，填装因子，所谓的填装因子是指哈希表中已存入的数据元素个数与哈希地址空间大小的比值，即α=n/m，α越小，冲突的可能性就越小，相反则冲突可能性越大；但是α越小，哈希表的存储空间利用率也就很低，α越大，存储空间的利用率也就越高，为了兼顾哈希冲突和存储空间利用率，通常将α控制在0.6-0.9之间（JDK中取0.75），而的Hashtable则直接将α的最大值定义为0.72（注：虽然微软官方MSDN中声明Hashtable默认填装因子为1.0，事实上所有的填装因子都为0.72的倍数）；

　　第二，与所用的哈希函数有关，如果哈希函数选择得当，就可以使哈希地址尽可能的均匀分布在哈希地址空间上，从而减少冲突的产生，但一个良好的哈希函数的得来很大程度上取决于大量的实践，不过幸好前人已经总结实践了很多高效的哈希函数，可以参考园子里大牛Lucifer的文章：数据结构 : Hash Table [I]

　　它是一类以发生哈希冲突的哈希地址为自变量，通过某种哈希函数得到一个新的空闲内存单元地址的方法（如图），开放定址法的哈希冲突函数通常是一组；

　　当未发生冲突时，则直接存放该数据元素；当冲突产生时，把产生冲突的数据元素另外存放在单链表中。

　　哈希是通过对数据进行再压缩，提高效率的一种解决方法。但由于通过哈希函数产生的哈希值是有限的，而数据可能比较多，导致经过哈希函数处理后仍然有不同的数据对应相同的值。这时候就产生了哈希冲突。

　　按顺序决定值时，如果某数据的值已经存在，则在原来值的基础上往后加一个单位，直至不发生哈希冲突。

　　按顺序决定值时，如果某数据的值已经存在，则在原来值的基础上先加1的平方个单位，若仍然存在则减1的平方个单位。随之是2的平方，3的平方等等正负加减。直至不发生哈希冲突。

　　按顺序决定值时，如果某数据已经存在，通过随机函数随机生成一个数，在原来值的基础上加上随机数，直至不发生哈希冲突。

　　（1）拉链法处理冲突简单，且无堆积现象，即非同义词决不会发生冲突，因此平均查找长度较短；

　　（2）由于拉链法中各链表上的结点空间是动态申请的，故它更适合于造表前无法确定表长的情况；

　　（3）开放定址法为减少冲突，要求装填因子α较小，故当结点规模较大时会浪费很多空间。而拉链法中可取α≥1，且结点较大时，拉链法中增加的指针域可忽略不计，因此节省空间；

　　（4）在用拉链法构造的散列表中，删除结点的操作易于实现。只要简单地删去链表上相应的结点即可。

　　指针占用较大空间时，会造成空间浪费，若空间用于增大散列表规模进而提高开放地址法的效率。

　　对于冲突的哈希值再次进行哈希处理（多次hash处理），直至没有哈希冲突。

　　通过简单的数学推导就可以得出其通项式公式即Hashtable的哈希函数簇为：

　　，当我们向哈希表中增加元素时，则依次尝试使用这些哈希函数，直到找到相应的空闲内存单元地址为止，这种方式称为二度哈希。

　　在Hashtable类中，包含元素的存储桶被定义在结构体bucket中：

　　其中前两个字段很容易理解，分别代表了哈希表中的关键字和值，对于第三个字段hash_coll，实际上保存了两种信息：关键字的哈希码和是否冲突，coll为collision（冲突）的缩写，该字段为32位整型类型，最高位为符号位，当最高位为0时，表示该数为正数，表示未发生冲突，为1时为负数，表示发生了冲突，剩下的其他位则用于保存哈希码。

　　下面我们来看一个简单的哈希表元素增删过程，使得我们对于哈希表的具体工作方式有一个更直观的了解，当我们未指定具体Hashtable容量大小时，来进行一组数据的插入操作，此时Hashtable类会自动初始化其容量为默认最小值3。

　　插入元素[20, “elem1”]，根据Hashtable类哈希函数通项式，所以其哈希代码的值为

　　，此时为第一次插入数据，因此不存在冲突，直接寻址到bucket[2]，由于不存在冲突，因此hash_coll的值即为其key的哈希代码，存储结构如下图：

　　插入元素[40, “elem3”]，此时的哈希表进行扩容，为什么会在此时扩容呢，哈希表的填装因子为2/3=0.66并未超过0.72，在，微软对填装因子进行了换算，通过填装因子与哈希表大小的乘积取整获得哈希表的最佳填装量即：3×0.72=2。扩容后的哈希表大小为原表容量大小的2倍后的质数，在本例中再次扩容后哈希表大小为7。进行扩容之后，原哈希表的已经存储的元素必须按照新的哈希表的哈希函数（其实哈希函数本身没有发生变动，发生变动的是哈希表的长度）进行计算，重新寻址，扩容后的哈希表如下：

　　完成扩容过程后才会对[40, “elem3”]进行插入操作，现在我们发现冲突产生了，因为此时bucket[5]的位置已经有元素了，此时进行二度哈希：

　　此时哈希表中位置为1的空间仍旧处于空闲状态，因此进行插入操作，在将元素插入之前，由于bucket[5]出现了冲突，因此需要对其进行标记，将hash_coll的最高位置为1，表示其出现了冲突，所以完成插入后哈希表结构如下图：

　　删除元素[20, “elem1”]，在删除元素时，同样需要根据哈希函数来进行寻址，如果有冲突，则进行二度哈希，但是值得注意的一点是，删除冲突标记元素（即元素的hash_coll值为负数）和非冲突标记元素是有差别的，在删除非冲突标记元素时，则直接将要删除的元素的键和值修改为null并将hash_coll置0即可，但是在删除冲突标记元素时，需将hash_coll的hash部分（即0-30位）置0以及将元素的值置为null，还需将该元素的键指向整个哈希表，之所以这样做是因为当索引为0的元素也出现冲突时，将无法判断该位置是一个空位还是非空位，那么再次进行插入时很可能将索引为0处的元素覆盖。删除[20， “elem1”]后的结构为：

　　从Framework 2.0开始，随着泛型的引入，类库提供一个新的命名空间lection.Generic，并且在该命名空间下新增了Dictionary等泛型类。

　　Dictionary的哈希函数就相对简单，就是简单的除留余数法，对于冲突解决，Dictionary则采用了链表法，但是此时buckets数组已经退化为专门用于存储元素的位置（下标）的整型数组，包含元素的数据结构被定义为结构体Entry，通过一个Entry类型的数组entries专门用于存储元素，Entry的定义如下：

　　其中的next字段表示数组链表的下一个元素的下标，一个关于数据存储结构的简单图示如下：

　　插入元素[20, “elem1”]，跟Hashtable类似，Dictionary初始化容量也为3（如果未指定初始化容量），Dictionary的哈希函数就非常简单了，除留余数法直接获取其哈希地址，

　　，那么此时在entries[0]直接保存下元素的键值以及哈希码，并将此时元素在entries数组中的索引赋值给buckets[2]，如下图：

　　，刚好未发生冲突，由于不受填装因子（此时填装因子为1）的约束，此时无须扩容，插入该元素后的存储结构为：

　　插入元素[55, “elem4”]，此时Dictionary的容量已满，必须进行扩容操作，Dictionary的扩容和Hashtable的扩容策略一致，扩容后的Dictionary的容量大小为原Dictionary容量大小2倍后的质数即也为7，然后根据扩容后的Dictionary重新寻址，这意味着部分数据可能会引起冲突从而导致已有的链表会被打乱重新组织；Dictionary首先会将扩容前Dictionary中的entries中的元素全部复制到新的entries中，紧接着进行重新寻址，对于第一个元素[20, “elem1”]，新的哈希地址为：

　　，于是buckets[6]的值被修改为0（即元素[20, “elem1”]在entries中的索引），同理对于33：

　　，此时发生冲突，在通过链表法处理冲突时，Dictionary首先将新元素的next指向冲突位置的元素索引buckets[5]，然后再将buckets[5]指向新的元素，此时一条只有两个元素的基于数组的链表形成，因此扩容之后的存储结构如下图：

　　在这里可以看出无论是Dictionary还是Hashtable，扩容带来的性能损耗代价都是相当昂贵的，因此我们最好能够预估出哈希表中最后容纳元素的总数，在哈希表初始化时就对其进行内存分配，从而避免不必要的扩容带来的性能损耗；

　　，再次发生冲突，那么按照刚刚的冲突解决办法，插入该元素之后的存储结构为：

　　删除元素对于Dictionary来说就很简单了，如果在非冲突链上删除元素，非常简单，通过哈希算法寻址找到对应的元素删除并将buckets中对应的元素值修改为-1，如果在冲突链上删除元素，那么就是一个简单的删除链表元素的操作，在这里就留给读者去思考。

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